Question

已知f(x)=1-1/e^x，当x>0时，f(x)<[x/(ax+1)]，求a的取值范围.

Answer 1

因为在x>0时恒有f(x)<g(x)，故显然a≥0，否则在x>-1/a时有g(x)<0<f(x)，与题干矛盾。
令g(x)=x/(ax+1)-f(x)=x/(ax+1)-1+1/e^x。根据题意在x>0上g(x)>0恒成立。
g'(x)=1/(ax+1)^2-1/e^x=[e^x-(ax+1)^2]/[e^x(ax+1),2]
在x>0上，分母大于0，分子中y=e^x和y=(ax+1)^2均为下凸曲线（y''>0），随x增大，y加速上升。
因为g(0)=0，所以当且仅当h(x)=e^x-(ax+1)^2>0在x>0上恒成立，才有g'(x)>0，否则只会g(x)<0。
变形有ax+1<(√e)^x，即a<[(√e)^x-1]/x在x>0上恒成立
而y(x)=[(√e)^x-1]/x在x>0上是一个单调增加的函数，所以a<y(0)
当x→0+时，根据L'Hospital法则，y(x)→1/2，所以a≤1/2
又a≥0，所以a的取值范围是[0,1/2]。

Answer 2

令g（x）=1-1/e^x-x/(ax+1)
求导 导数=1/e^x-1/(ax+1)^2 令其等于0，得e^x=(ax+1)^2
令e^x=(ax+1)^2=t，只需g（lnt）<0
g（lnt）=1-1/t-lnt/根号t<0
解得t的取值范围，然后再利用
(ax+1)^2=t，即求出a的取值范围