Question

求一道数学题，要详细答案，谢谢（如详细加5分）

在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A=60度，AD=DC=CB=2，点P是AD上一动点，点Q是线段AB上一动点且AP=AQ，在等腰梯形ABCD内以PQ为一边作矩形PQMN，点N在CD上。设AQ=X，矩形PQMN的面积为Y。（1）求等腰梯形ABCD的面积；（2）求Y与X之间的函数关系式；（3）当X为何值时，矩形PQMN是正方形；（4）矩形PQMN面积最大时，将三角形PQN沿NQ翻折，点P的对应点为P僻，请判断此时三角形BMP僻的形状。

Answer 1

1、作DR⊥AB于R ∵∠A=60°AB∥CD QD=DC=BC=2→AB=2DC=4
AR=½AD=1 →DR=√AD²-AR²=√4-1=√3 →S梯形ABCD=（4+2）×√3÷2=3√3
2、作DT⊥PN于T ∵∠A=60°∠D=120° AP=AQ=X PQMN为矩形→ PQ=AQ=AP=X
且∠DPN= 30°→∠DNP=30°→DP=DN=2-X →⊿PTD中∠PAT=60°→DT=PD=(2-X)/2→
PN=2PT=2√[(2-X)²-((2-X)/2)²]=2√3-(√3)X → S长方PQMN=Y=X(2√3-(√3)X )=2(√3)X-(√3)X²
3、要使 矩形PQMN为正方形 →PQ=PN ∵ PQ=X →PQ=PN=X=2√[(2-X)²-((2-X)/2)²]解方程得
X=2√3／（1+√3）
4、要使矩形PQMN面积最大，只有当P点为AD中点时为最大→ PQ=1 由2中可知此时PN=2√[(2-X)²-((2-X)/2)²]=√3→QN=√(1²+(√3)²)=2→∠PQN=60°=∠NQP'则P'在AB线上 ∵∠NQP'=∠QNM=60° QP'=NM=1 QN=2→P'M∥QN→P'M=½QN=1 ∠MP'B=60° →P'B=AB-(AQ+QP')=2→三角形PMC为直角三角形

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