Question

高一数学 必修五

在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且1+tanA/tanB=2c/b. (1)求角A，（2）若a=根号3，试判断bc取得最大值时△ABC的形状
主要是第二问~求【详解】~

Answer 1

A=60°
2c/b-1=(2c-b)/b=tanA/tanB=sinAcosB/cosAsinB
2c/b=(sinAcosB+cosAsinB)/cosAsinB=sin(A+B)/cosAsinB=sinC/cosAsinB=c/bcosA
cosA=1/2,A=60°

追问

第二问呀~

追答

好久没做这题目了，有点生疏了，不知道对不对，你自己看看过程。另外，因为网页上不可能像作业上写的那些符号，√就是根号，而^2就是平方，仔细看看，不知道对你解题有没有帮助
因为A=60°
cosA=（b^2+c^2-a^2）/2bc=（b^2+c^2-3）/2bc=1/2
即b^2+c^2-3=bc
所以b^2+c^2+2bc-3=bc+2bc，即（b+c）^2=3bc+3，即bc=[(b+c)^2-3]/3
由不等式定理得bc≤（b+c）^2/4
所以（b+c）^2/4=[(b+c)^2-3]/3
所以（b+c）^2=12
b+c=2√3
所以bc=3
cosA=（b^2+c^2-a^2）/2bc
即b^2+c^2-3=3
b^2+（2√3-b）^2=6
所以b^2-2√3b+3=0
即（b-√3）^2=0
所以b=√3
所以c=√3
又因为a=√3
所以a=b=c
所以三角形是等边三角形

Answer 2

由（1）得A=60°
（2）由余弦定理得，b^2+c^2-(2bc)cosA=a^2
即3=b^2+c^2-bc≥2bc-bc=bc (这里用的是基本不等式)
因此bc≤3 (当且仅当b=c时取等号)
故bc的最大值为3 此时，由于b=c A=60°所以三角形是等边三角形