Question

高数极限问题：

一个函数f(x)极限不存在，一个函数g(x)极限存在，试求它的除式f(x) /g(x)极限存在的例子!(如果除式f(x) /g(x)的极限不存在，试说明理由)
注：函数的极限可趋向任意确定值或无穷大，但需保证这三者f(x) 、g(x)和 f(x) /g(x) 的趋向要一制。

Answer 1

很明显如果g(x)的极限非零且f(x)/g(x)的极限有限时不可能出现这种例子，所以必须出现极限无穷大或者g(x)->0的情况。
各举一例：
f(x)=sinx, g(x)=x, x->+oo
f(x)=2+sinx, g(x)=1/x, x->+oo

追问

高手啊，我是看那个海天视频，里面说一个极限存在，一个极限不存在，则两者的乘除法则不一定，他当时只是论证了一下乘法，说除法类似，我能够找出极限存在比上极限不存在结果不一定的例子，也能找出极限不存在比上极限存在结果也不存在，唯独找不到极限不存在比上极限存在结果也存在的例子，你能严格论证一下，或者说明一下理由么？拜托

追答

一般来讲极限为无穷大归入极限不存在的情形，把它归于极限存在本身就是自找麻烦，很多命题的叙述都需要小心，那种视频不看也罢，还不如找一本教材看看。

至于证明，例子都给你了还不会证吗
f(x)=sinx, g(x)=x, x->+oo时f(x)无极限，g(x)->+oo, f/g -> 0
f(x)=2+sinx, g(x)=1/x, x->+oo时f(x)无极限，g(x)->0, f/g -> +oo
关键就是找0×oo型的不定式。

追问

我自始至终都没认为“把极限为无穷大归入极限存在”一类，我也是认为趋向无穷大极限不存在的啊，只是上面两个例子都不合题意啊！
f(x)=sinx, g(x)=x, x->+oo时f(x)无极限（g(x)不存在极限啊不合题意）
f(x)=2+sinx, g(x)=1/x, x->+oo时f(x)无极限（比值结果极限不存在啊）
我想问在无穷大不算极限存在的前提下，真如你所说“不存在的例子!”吗？能证明或再说明一下么？拜托

追答

那还有什么好说的，f = g * (f/g)，用极限的运算法则，g和f/g都有有限极限时f当然一定有极限。

Answer 2

f(x）=1 （X>=0）
f(x）=-1 （X<0）
f(x)极限不存在
g(x)=1/x 极限存在

追问

他们的比值还是不存在啊！——趋向无穷大是不能算极限存在的啊

Answer 3

这是不存在的，两个函数在同一点都有极限，那么他们的乘积极限也存在，即f(x)极限存在

追问

如果两个函数在同一点都有极限，那么他们的除法极限就不一定存在，对吧！如f(x)=1/x, g(x)=(1/x)^2,趋向无穷大时，f(x) /g(x) 极限就不存在。
那么，请问乘法为什么就不可以？

追答

（1/x）^2是什么意思？

追问

x的平方分之1

追答

不好意思，那句话是不对的，乘积之后极限也可能不存在，我搞错了，当g(x)不趋于有限数时，可以举例子，已经有人举了

Answer 4

= = 弱弱的说下：
极限存在包括3种：一、有极限且为一个数；二、趋于无穷（无穷小、无穷大）；三、为0
极限不存在只有一种：就是左极限不等于右极限，意思就是从左边趋近的极限不等于从右边趋近的极限。
所以。。如果把趋于无穷的算是极限不存在是错误的。