Question

设随机变量X1,X2,...Xn独立同分布,且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ^2,i=1,2,...,设x=1/n∑xp,求Ex,Dx,xi与x的相关系数

设随机变量序列X1,X2,...Xn独立同分布,且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ^2,i=1,2,...,设x=1/n∑xp,求Ex,Dx, xi与x的相关系数

Answer 1

EX=E(1/n∑xp)=1/n∑E(xp)=μ
DX=D(1/n∑xp)=1/n²D(∑xp)=1/n²∑D(xp)=σ²/n
相关系数就是协方差和2个变量方差的积平方根的比值，注意到是独立的，所以Cov（Xi,Xj）=0（对i≠j）
对i=j的情况当然就是Cov（Xi，Xi）=VarXi，就是方差DXi
因此Cov（Xi，X）=Cov（Xi，1/n∑xp）=1/n∑Cov（Xi，Xj）=1/nσ²
所以相关系数就是u=Cov（Xi，X）/√DXi√DX=1/√n

追问

EX是不是应该等于μ/n呀

追答

不是的，均值是线性可加的，所以平均值的期望可以等于期望和的平均值。
简单说来你把期望类比成一个线性函数，更直白的就是一次函数