Question

已知平面α⊥平面β,α∩β=l,A∈α,B∈β,AB=12,AC⊥l于C，BD⊥l于D，若AB与α成45°角，AB与β成30°角

求二面角C-AB-D的正弦值

Answer 1

解：因为平面α⊥平面β,α∩β=l,A∈α,B∈β,AB=12,AC⊥l于C，BD⊥l于D
所以由面面垂直的性质定理可得：
AC⊥平面β，BD⊥平面α
则：AB在平面α内的射影为AD;AB在平面β内的射影为BC
即：∠BAD就是AB与α的所成角；∠ABC就是AB与β的所成角
所以：∠BAD＝45°；∠ABC＝30°
则分别在Rt△ABC和Rt△ABD中，由AB=12
易得：AD=BD=6√2;AC=6,BC=6√3
则在Rt△BCD中，CD=√(BC²-BD²)=6
作AB中点E，连结DE；作DF⊥BC,垂足为F，连结EF
因为AC⊥平面β,DF在平面β内，所以AC⊥DF
又DF⊥BC，BC∩AC=C
所以由线面垂直判定定理得：DF⊥平面ABC
则有：DF⊥AB，DF⊥EF
又在Rt△ABD中，AD=BD，点E是斜边AB中点
则：DE⊥AB,且DE=AB/2=6
所以易知：∠DEF就是二面角C-AB-D的平面角
在Rt△BCD中，CD=6,BD=6√2,BC=6√3
则由S△BCD=CD*BD/2=DF*BC/2得：
DF=CD*BD/BC=6*6√2/6√3=2√6
则在Rt△BCD中，DE=6,sin∠DEF=DF/DE=2√6/6=√6/3
所以二面角C-AB-D的正弦值为√6/3

Answer 2

在AB上取一点，使DE⊥AB，过E作EF⊥AB交BC于F。∵AB⊥DE，AB⊥FE，DE∩FE＝E，∴AB⊥面DEF，∴DF⊥AB。
∵面α⊥面β，面α∩面β＝l，又AC⊥l，∴AC⊥面β，∴DF⊥AC。
由DF⊥AB，DF⊥AC，得：DF⊥面ABC，∴∠DEF就是二面角C－AB－D的平面角。
在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝12，∴AD＝BD＝6√2。
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝12，∴AC＝6，BC＝6√3。
在Rt△ACD中，AC⊥CD，∴CD＝√（AD^2－AC^2）＝√（36×2－36）＝6。
在Rt△ADE中，DE⊥AE，∠DAE＝45°，∴DE＝6。
在Rt△BCD中，BD⊥CD，DF⊥BC，∴BD×CD＝BC×DF，
得：DF＝（6√2）×6/（6√3）＝2√6。
∴sin∠CED＝DF/DE＝（2√6）/6＝√6/3。
即二面角C－AB－D的正弦值是√6/3。