Question

在正方体ABCD一A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，AC交BD于点o，求证：A1o丄平面MBD

Answer 1

证：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD. (正方形的对角线互相垂直）。
∴AO⊥BD (AO是AC的一部分）。
A1O是平面ABCD的一条斜线，O为斜足。
A1A⊥平面ABCD,垂足为A.
AO是斜线A1O在平面ABCD上的射影。
∵AO⊥BD,∴A1O⊥BD.（ 三垂线定理）
又△MBD是等腰三角形，MO是底边BD的中线，∴MO⊥BD
A1O∩MO=O. 且A1O,MO在平面A1OM内。
∴BD⊥平面A1OM. 又BD在平面MBD内。
∴平面A1OM⊥平面MBD,
A1O在平面A1OM内，BD在平面MBD内，
∵A1O⊥BD, ∴A1O⊥平面MBD.
证毕。