Question

线性代数多项式的问题

求次数最低的多项式u(x),v(x). 使得它们满足
(x^4+2x^3+x+1)u(x)+(x^4+x^3-2x^2+2x-1)v(x)=x^3-2x
不带猜的，最好可以推广，不是特例，教我方法，谢谢（最好不用矩阵，用了也行）

Answer 1

设f(x) = x^4+2x^3+x+1, g(x) = x^4+x^3-2x^2+2x-1, h(x) = x^3-2x. 先用“辗转相除法”求出f(x)和g(x)的最大公因式d(x), 同时得到u(x)和v(x)使得f(x)u(x) + g(x)v(x) = d(x). 再比较h(x)和d(x), 如果h(x) = d(x), 那么上面得到的u(x)和v(x)即为所求, 如果h(x) = k(x)d(x), 则在f(x)u(x) + g(x)v(x) = d(x)两边同时乘以k(x)得 f(x)[k(x)u(x)] + g(x)[k(x)v(x)] = k(x)d(x) = h(x), 从而得到k(x)u(x)和k(x)v(x)作为最终结果. 网上有很多关于整数的“辗转相除法”，如： http://zhidao.baidu.com/question/225684377.html http://baike.baidu.com/view/255668.htm 比较容易理解，多项式的“辗转相除法”与之类似， 可以参考我做过的作业（见下图）

追问

请注意“次数最低的”，可以证明你那个次数不一定是最低的，我一开始也是这么想的，但是比如gcd(f(x),g(x))=1,而f(x)+g(x)=x^3,那么如果你的h(x)=x^3,照你算的话u,v都是x^3，其实只要都是1就可以了，你那个不是次数最低的，谢谢！

追答

不好意思，刚才没有注意到“次数最低的”这个要求，现修正如下：

设f(x) = x^4+2x^3+x+1, g(x) = x^4+x^3-2x^2+2x-1, h(x) = x^3-2x.
先用“辗转相除法”求出f(x)和g(x)的最大公因式d(x), 同时得到u(x)和v(x)使得f(x)u(x) + g(x)v(x) = d(x).
再令f(x) = f1(x)d(x), g(x) = g1(x)d(x), h(x) = h1(x)d(x).
于是gcd(f1(x), g1(x)) = 1.
问题转化为：
求次数最低的u(x), v(x)使得
f1(x)u(x) + g1(x)v(x) = h1(x). ————(1)

假设已经求出u1(x), v1(x)使得
f1(x)u1(x) + g1(x)v1(x) = h1(x). ———(2)
将(2)式减去(1)式得
f1(x)[u1(x) - u(x)] + g1(x)[v1(x) - v(x)] = 0. ——(3)
由gcd(f1(x), g1(x)) = 1可知
f1(x)整除[v1(x) - v(x)], g1(x)整除[u1(x) - u(x)],
而且根据(3)式可以设
v1(x) - v(x) = f1(x)d1(x), u1(x) - u(x) = g1(x)d1(x).
由此可见
v1(x) = v(x) + f1(x)d1(x), u1(x) = u(x) + g1(x)d1(x).
这就是说,
用f1(x)去除v1(x)得余式v(x), 用g1(x)去除u1(x)得余式u(x),
这样得到的u(x)和v(x)即为所求.

Answer 2

设f(x) = x^4+2x^3+x+1, g(x) = x^4+x^3-2x^2+2x-1, h(x) = x^3-2x.
先用“辗转相除法”求出f(x)和g(x)的最大公因式d(x), 同时得到u(x)和v(x)使得f(x)u(x) + g(x)v(x) = d(x).
再令f(x) = f1(x)d(x), g(x) = g1(x)d(x), h(x) = h1(x)d(x).
于是gcd(f1(x), g1(x)) = 1.
问题转化为：
求次数最低的u(x), v(x)使得
f1(x)u(x) + g1(x)v(x) = h1(x). ————(1)

假设已经求出u1(x), v1(x)使得
f1(x)u1(x) + g1(x)v1(x) = h1(x). ———(2)
将(2)式减去(1)式得
f1(x)[u1(x) - u(x)] + g1(x)[v1(x) - v(x)] = 0. ——(3)
由gcd(f1(x), g1(x)) = 1可知
f1(x)整除[v1(x) - v(x)], g1(x)整除[u1(x) - u(x)],
而且根据(3)式可以设
v1(x) - v(x) = f1(x)d1(x), u1(x) - u(x) = g1(x)d1(x).
由此可见
v1(x) = v(x) + f1(x)d1(x), u1(x) = u(x) + g1(x)d1(x).
这就是说,
用f1(x)去除v1(x)得余式v(x), 用g1(x)去除u1(x)得余式u(x),
这样得到的u(x)和v(x)即为所求.

不要局限于做题 而是要通过一道题了解一类题的方法