Question

高斯公式与斯托克斯公式

高斯公式是第二型曲面积分与三重积分之间的转化关系，物理意义是两个面的通量代数和与所包围空间内散度代数和之间的转化；斯托克斯公式是第二型曲线积分与其在空间内所包围一曲面上第二型曲面积分之间的转化，物理意义是一条闭合曲线的环量与换所包围面上环量面密度代数和之间的转化。
这是我的理解，下边是疑问。
有个想法，高斯公式和斯托克斯公式之间是不是也有联系呢？例如，高斯中的两面通量代数和类似斯托克斯中管流量，高斯中的散度类似斯托克斯的环量面密度，然后对于斯托克斯中的旋度在高斯中又是什么与之类似呢？ 还有，高斯是第二型曲面积分，可不可以看成无数条第二性曲线积分的积分和？这样的话，斯托克斯与高斯之间就可以联系起来了。等于说对一个第二型曲面积分是不是可以先求其中某一条曲线的第二型积分，然后把所有曲线加起来呢？
能解释下斯托克斯里的旋度，环量面密度在某个具体物理中的意义吗？ 例如，磁场是有旋场，那旋度表示什么？ 同学说表电流，不理解为什么。磁场里从一点到另一点的变化与路径有关？感觉没关吧？

Answer 1

高斯公式是积分里的公式，要在积分区域是单连通的情况下才可用

Answer 2

你这样做是没有什么意义的，不是每个积分都能找到合理的物理解释的，物理解释是为了能更好的理解积分。但是格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、牛顿—莱布尼兹公式有一个共性：积分值都能用积分区域的边界值表示。