Question

设n为自然数,求证:(2-1/n)×(2-3/n)×(2-5/n)×...×(2-2n-1/n)≥1/n!放缩法

Answer 1

你要分析啊
左边的式子总共n项 相乘 要证他大于等于1/n!
只要证(2-2n-1/n)≥1/n
化简，即1≥1，显然成立

所以(2-2n-1/n)≥1/n成立
故(2-2n-3/n)≥1/n-1
(2-2n-5/n)≥1/n-2
....
(2-1/n)≥1/1
n式相乘 即:(2-1/n)×(2-3/n)×(2-5/n)×...×(2-2n-1/n)≥1/n!

Answer 2

(2-1/n)×(2-3/n)×(2-5/n)×...×(2-2n-1/n)
＝1/n×3/n×5/n...×(2n-1)/n
(n+1-i)(2i-1)≥[n-(i-1)][1+(i-1)]≥n×1
(2i-1)/n≥1/(n+1-i)
1/n×3/n×5/n...×(2n-1)/n≥1/n×1/(n-1)×...×1/1=1/n!

Answer 3

看左侧的通项:1/n^2 < 1/(n^2-1)=0.5*[1/(n-1)-1/(n+1)]
那么左侧的式子1/1^2+1/2^2+1/3^2+·······+1/n^2 < 1+0.5*(2/1^2+2/2^2+2/3^2+·······+2/n^2)=1+0.5*[1/1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+......+1/(n-3)-1/(n-1)+1/(n-2)-1/n+1/(n-1)-1/(n+1)]
你可以看出左侧的式子等于1+0.5*[1-1/(n+1)]
1+0.5*[1-1/(n+1)] < 1+0.5*1=6/4<7/4