Question

两道八年级奥数题

某小组共有11位同学，每位同学至少要和三位同学交换意见。讨论完后又两位同学说自己和四个同学交换了意见。请证明至少还有一位同学也和四位同学交换了意见。

某次体育比赛共有n(n>=3)名选手参加，每两名选手都比赛一局，现知无平局出现，而且每个选手都未能击败所有对手。求证：其中必存在3名选手甲乙丙，使得甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲

Answer 1

1.依题目条件：每位同学交换意见的总次数>=4*2+3*（11-2）=8+27=35，由于两两交换意见，总次数应为偶数，故总次数最少为36，也就是至少还有一位同学也和四位同学交换了意见

2.设赢得最多的选手为A，因为每个选手都未能击败所有对手，所以存在选手B，B胜A，在A胜的选手中一定存在选手C使得A胜C而C胜B，否则A胜的选手（除B外）都败给了B，那么B胜的次数要大于A
A：甲 B：丙 C：乙
得证

Answer 2

挺难的，我不懂