Question

已知，△ABC中,∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，求证BF=AC，CE=1/2

已知，△ABC中,∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，求证BF=AC，CE=1/2（1）求证：BF=AC
（2）求证：CE=½BF
（3）CE与EG的大小关系如何？是说明你的结论

Answer 1

(1)证明:因为CD⊥AB,∠ABC=45º,所以,△BCD是等腰直角三角形.所以,BD=CD.

在Rt△DFB和Rt△DAC中,

因为∠DBF=90º-∠BFD,∠DCA=90º-∠EFC,且∠BFD=∠EFC,所以,∠DBF=∠DCA.

又因为∠BDF=∠CDA=90º,BD=CD,所以,Rt△DFB≌Rt△DAC.

所以,BF=AC.

(2)证明:在Rt△BEA和Rt△BEC中,

因为BE平分∠ABC,所以, ∠ABE=∠CBE.

又因为BE=BE,∠BEA=∠BEC=90º,

所以,Rt△BEA≌Rt△BEC.所以,CE=AE=1/2×AC.

又由(1)知,BF=AC,所以,CE=1/2×AC=1/2×BF.

（3）答：BG>CE

证明：因为△BDC是等腰直角三角形，且BH=HC，

所以DH垂直平分BD，

连接GD，得BG=CG，

在Rt△GCE中，

GC>CE(斜边大于直角边)

所以BG>CE

Answer 2

证明：（1）∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD=CD．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA．
又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，
∴Rt△DFB≌Rt△DAC．
∴BF=AC；

（2）在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE=AE= 12AC．
又由（1），知BF=AC，
∴CE= 1/2AC= 1/2BF；

（3）CE＜BG．
证明：连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD
又H是BC边的中点，
∴DH垂直平分BC．∴BG=CG
在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，
∴CE＜CG．
∴CE＜BG．