Question

定义在对称区间（-l，l）上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和，并且这种表示方法唯一。

请问唯一性怎么证？【 f(x)= (f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 】

Answer 1

f(x)= (f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 首先我们得知道什么是奇函数，什么是偶函数，然后就可以清楚的知道f(x)-f(-X)这个为奇函数，所以左右两边是反号的，这个相见相当于就是2个f（x），然后再看f（x）+f（x)。这个为偶函数，所以左右两边相等，相加起来也是2个f（x）。在将上面两个f（x）同时除以2，就得到f(x)/2+f(x)/2=f(x)..有不懂的再问我，很高心为你解答问题。。

Answer 2

记g(x)=(f(x)-f(-x))/2是奇函数,h(x)=(f(x)+f(-x))/2是偶函数,
若有g'(x)是奇函数,h'(x)是偶函数.
满足和为 f(x),
则有g(x)-g'(x)=h'(x)-h(x)
左边是奇函数,右边是偶函数.
那么g(x)-g'(x)=h'(x)-h(x)=0
唯一性得证

追问

我觉得g'(x)=(f(x)+f(-x))/2是偶函数，h'(x)=(f(x)-f(-x))/2是奇函数.
则有g(x)-h'(x)=g'(x)-h(x).左边是奇函数,右边是偶函数.
且g(x)-h'(x)=g'(x)-h(x)=0

Answer 3

f(x)= 0=y=0（-1到1）的一条直线