Question

(y^2-2xy)dx+x^2dy=0 齐次微分方程！！！高手进阿

(y^2-2xy)dx+x^2dy=0 微分方程
答案是x(y-x)=cy或y=0

Answer 1

y=0显然为通解

两边除以x^2

((y/x)^2-2y/x)dx+dy=0
令y/x=v
dy=xdv+vdx
(v^2-2v)dx+xdv+vdx=0
(v^2-v)dx=-xdv
1/xdx=1/(v-v^2)dv
1/xdx=1/(v(1-v))dv=(1/(1-v)+1/v)dv
两边积分得到：
lnx=lnv-ln(1-v)+c
lnx=lny/x-ln((x-y)/x)+c
lnx=lny/(x-y)+c
x(x-y)=cy
x(y-x)=c'y

此即为通解