Question

在三角形ABC中，角A角B角C所对的边分别是a,b,c；若(sinA)^2+cosA=5/4，b+c=√3a，判断三角形ABC的形状

Answer 1

（π/2+A)*(-sinA)=-1*(cosA-5/4)

sin(-A)*(-sinA)=5/4-cosA

sin²A=5/4-cosA

1-cos²A=5/4-cosA

cos²A-cosA+1/4=0

(cosA-1/2)²=0

∴cosA=1/2

A=π/3

sinB+sinC=√3*sinA=3/2

B+C=2π/3……①

sinB+sinC=2sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]=3/2

∴cos[(B-C)/2]=√3/2

B和C是对称的不妨设B＞C

∴(B-C)/2=π/6

B-C=π/3……②

由①和②，得

B=π/2，C=π/6

即A=π/3，B=π/2，C=π/6

所以三角形ABC是直角三角形。

Answer 2

(sinA)^2+cosA=5/4 算出cosA=1/2 所以A=π/3
根据第二个式子和正弦定理 sinB+sinC=√3sinA=3/2
左边和差化积 2sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]=3/2
所以cos[(B-C)/2]=根3/2 B-C=π/3
那么B=π/2 C=π/6

所以是直角三角形