Question

双曲线a平方分之x平方减b平方分之y平方等于1（a>0,b>0)的离心率为根号2，且焦点到渐近线的距离等于1

求双曲线的方程
直线L：y=kx+1与双曲线交于不同的B、C，并且B、C两点都在以双曲线的右顶点A为圆心的同一圆周上，求实数K的值

Answer 1

解：因为双曲线的离心率为√2，即c/a＝√2，所以c^2＝2a^2＝a^2＋b^2，a＝b，
又焦点到渐近线的距离为1，即b＝1，所以双曲线的标准方程为x^2－y^2＝1.
(2)由(1)得，A(1，0)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则(x1)^2－(y1)^2＝1，即(y1)^2＝(x1)^2－1，同理(y2)^2＝(x2)^2－1。
因为AB＝AC，有(x1－1)^2＋(y1)^2＝(x2－1)^2＋(y2)^2，整理得(x1－x2)(x1＋x2－1)＝0
当x1＝x2时，直线l的斜率不存在，此时直线与双曲线无交点，不满足条件，所以x1＋x2－1＝0，即x1＋x2＝1。
又将直线方程代入双曲线方程得：(1－k^2)x^2－2kx－2＝0，有x1＋x2＝(2k)/(1－k^2)，则有(2k)/(1－k^2)＝1，解之得k＝－1±√2.
又△＝(2k)^2＋8(1－k^2)＝8－4k^2≥0，且1－k^2≠0，所以k∈[－√2，－1)∪(－1，1)∪(1，√2]，所以k＝－1＋√2.