Question

已知正实数a,b满足a√(1-b^2)+b√(1-a^2)=1，求证: a^2+b^2=1，如果将√(1-a^2）改为√(2-a^2）其结果如何

原题只改了“根号下（1-a^2）为根号下(2-a^2)，”没改b平方那个

Answer 1

如果是初中题，直接移项平方，把b当成已知数解出a，然后褪根号。

如果是高中题，用三角代换做，但是不要止步于三楼的结果。
比如sin(u+v)=1/2，然后用sinu = sin(pi/6-v)以及sinu = sin(5pi/6-v)建立a和b满足的等式，如果要合并两种情况就再移项平方得到四次的等式。

如果是大学题，令c=√(2-a^2), d=√(2-b^2)，化成多项式方程组之后利用Sylvester行列式消去c和d即可。

补充：
既然是高中生，不妨用三角变换。Cauchy不等式虽然可以做，但是要猜出最后等式的形式才方便。
a=(√2)cosx, b=cosy，解出x+y=3pi/4或x+y=pi/4即可。给你一个参考答案
(a-b)^2+b^2=1或(a+b)^2+b^2=1，如果要合并的话就是(a^2+2b^2-1)^2-4a^2b^2=0

追问

a-b)^2+b^2=1或(a+b)^2+b^2=1，如果要合并的话就是(a^2+2b^2-1)^2-4a^2b^2=0 这是干嘛用的？

追答

a和b的关系本来是由一个代数方程建立的，最终当然应该由一个代数方程来表达，(a+b)^2+b^2=1和(a-b)^2+b^2=1是一个四次方程的两个枝，只是便于讨论而已。

Answer 2

【【注】】
该题用“柯西不等式”证明较简单。
请注意使用“柯西不等式”时，一些注意事项。
【【证明】】
易知，1-a²≥0,且1-b²≥0.
同时，a＞0,b＞0
由题设条件及“柯西不等式”可得：
1=[a² +(1-a²)]×[(1-b²)+b²]≥[a√(1-b²)+b√(1-a²)]²=1.
∴[a²+(1-a²)]×[(1-b²)+b²]＝[a√(1-b²)+b√(1-a²)]².
∴此时，“柯西不等式”取得等号。
由“柯西不等式”取得等号的条件可知,此时必有：
a²/(1-b²)=(1-a²)/b².
∴a²b²=(1-a²)(1-b²).
整理可得：a²+b²=1.
证毕！
【【附】】
按LZ的意思，仅仅改动其中一个条件：
把√（1-a²）改为√(2-a²)
[(2-a²)+(1-b²)]×[b²+a²]≥[b√(2-a²)+a√(1-b²)]²=1.
∴[3-(a²+b²)](a²+b²)≥1.
(a²+b²)²-3(a²+b²)+1≤0.
[(a²+b²)-(3/2)] ²≤5/4
|(a²+b²)-(3/2)| ≤(√5)/2
(3-√5)/2≤a²+b²≤(3+√5)/2.
即此时a²+b²的取值范围是[(3-√5)/2,(3+√5)/2]
∴a²+b²的值有可能为1.

追问

我是高中生，阁下是否还有其他方法？

追答

【1】
“柯西不等式”是现在的高中生选修内容，你应该学了吧？
【2】
请原谅，我没有其他方法了。

追问

现在高一，还没学，不过谢谢你的答案！我看懂了。

追答

好，你真聪明啊

Answer 3

楼上的方法很好，还有的方法：1、数形结合（圆内托勒密定理+同一法）2、a√1-b²=1-b√1-a²…… 3、柯西不等式（见楼上）4、均值不等式a√1-b²+b√1-a²≤(a²+1-b²)/2+(b²+1-a²)/2=1,由题意，等号成立，根据均值不等式，a=√1-b²,b=√1-a²证毕。5、三角代换a=sinα,b=sinβ带入即可。

Answer 4

1
a>0,b>0
a√(1-b^2)+b√(1-a^2)=1
a<1,b<1
设a=sinu b=sinv
0<u<90 0<v<90
a√(1-b^2)+b√(1-a^2)=sinucosv+sinvcosu=sin(u+v)
sin(u+v)=1
u+v=90
a=sinu b=sin(90-u)=cosu
a^2+b^2=1

2
a√(2-b^2)+b√(2-a^2)=1
a<√2,b<√2
a=√2sinu b=√2sinv
0<u<90, 0<v<90
a√(2-b^2)+b√(2-a^2)=2(sinucosv+sinvcosu)=1
sin(u+v)=1/2=sin30 或sin(u+v)=sin150 cos(u+v)=√3/2或cos(u+v)=-√3/2
a^2+b^2=2(sinu^2+sinv^2)=2-(cos2u+cos2v)=2-(cos(u+v)cos(u-v))>2-cos(u+v)
a^2+b^2>1

追问

原题只改了“根号下（1-a^2）为根号下(2-a^2)，”没改b平方那个

追答

a√(1-b^2)+b√(2-a^2)=1
a1

Answer 5

改了的话值就不确定了