一道高一数学基本不等式证明题
已知：a>0,b>0,c>0，a+b+c=1.求证：1/a^2+1/b^2+1/c^2≥27....
已知：a>0,b>0,c>0，a+b+c=1.求证：1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 ≥27.
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因为1=a+b+c≥3三次根号下abc
所以abc≤1/27
所以1/abc≥27
1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 ≥3三次根号下（abc)^2≥3三次根号下27^2
=27
所以abc≤1/27
所以1/abc≥27
1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 ≥3三次根号下（abc)^2≥3三次根号下27^2
=27
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由均值不等式
1/a^2+27a+27a≥3*(27a*27a*1/a^2)^(1/3)
即1/a^2+54a≥27
同理可知
1/b^2+54b≥27
1/c^2+54c≥27
三式相加得
1/a^2+1/b^2+1/c^2+54(a+b+c)≥81
1/a^2+1/b^2+1/c^2+54*1≥81
1/a^2+1/b^2+1/c^2≥27
取等号时a=b=c=1/3
1/a^2+27a+27a≥3*(27a*27a*1/a^2)^(1/3)
即1/a^2+54a≥27
同理可知
1/b^2+54b≥27
1/c^2+54c≥27
三式相加得
1/a^2+1/b^2+1/c^2+54(a+b+c)≥81
1/a^2+1/b^2+1/c^2+54*1≥81
1/a^2+1/b^2+1/c^2≥27
取等号时a=b=c=1/3
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