Question

急，高等数学，急求解，要详细计算过程！计算题！ 设y=y（x） 由方程e^y+xy=e 确定，求y`（0），y``（0）

Answer 1

y=y(x)由方程e^y+xy=e确定
两边同时求导得e^y*y'+y+x*y'=0
所以y'=-y/(e^y+x)
所以y''=[-y/(e^y+x)]'=[-y'*(e^y+x)-(-y)*(e^y*y'+1)]/(e^y+x)^2=[-y'*e^y+x*y'+y*y'*e^y+y]/(e^y+x)^2

因为x=0时e^y+0*y=e
所以e^y=e
即y(0)=1
所以y'(0)=-y/(e^y+x)=-1/(e^1+0)=-1/e
y''(0)=[-y'*e^y+x*y'+y*y'*e^y+y]/(e^y+x)^2=[-(-1/e)*e^1+0*(-1/e)+1*(-1/e)*e^1+1]/(e^1+0)^2=1/e^2

Answer 2

设y=y（x） 由方程e^y+xy=e 确定，求y′（0），y″（0）
解：F(x，y)=e^y+xy-e≡0，其中y=y(x)，x=0时，y=1
y′=dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=-y/(e^y+x)，用x=0，y=1代入即得y′(0)=-1/e=-eֿ¹
y″=dy′/dx=-{(e^y+x)y′-y[(e^y)y′+1]}/(e^y+x)²
用x=0，y=1，y′=-1/e代入得：
y″(0)=-[e(-1/e)-e(-1/e)-1]/e²=1/e²=eֿ².

Answer 3

e^y+xy=e
等号两边同时对x求导得
e^y*y'+y+x*y'=0
所以y'=-y/(e^y+x)

所以y''=(y')'=[-y/(e^y+x)]'
=[-y'*(e^y+x)-(-y)*(e^y*y'+1)]/(e^y+x)^2
=[2y(e^y+x)-y^2*e^y]/(e^y+x)^3

方程两边对x求导得
e^(xy)(y+ xy') + cos(xy) (y+xy') =y'
此时可求出y'
或者直接带入 x=0 y=e^0 + 0=1 得y'（0）=2