Question

用放缩发证明:1/2-1/(n+1)<1/(2^2)+1/(3^2)+…+1/(n^2)<(n-1)/n其中n=2，3，4…

第二道也用放缩法证明:1+1/(根号2)+1/(根号3)+…+1/(根号n)<2倍根号n

Answer 1

字数限制，写不下详细步骤
1. 提示： 1/n-1/(n+1)=1/[n(n+1)]<1/n²<1/[(n-1)n]=1/(n-1)-1/n 然后裂项相消
2. 提示：1/√n=2/(2√n)<2 / [√(n-1)+√n]=2[√n-√(n-1)] 然后裂项相消

Answer 2

利用这个 1/[k*(k－1)]<1/k^2<1/[k*(k＋1)] 放缩。

Answer 3

1/(2^2)+1/(3^2)+…+1/(n^2)=1/(2*2)+1/(3*3)+…+1/(n*n)>1/(2*3)+1/(3*4)+…+1/[n*(n+1)]=1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n-1/(n+1)=1/2-1/(n+1)
1/(2^2)+1/(3^2)+…+1/(n^2)<1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/[(n-1)*n]=(n-1)/n

Answer 4

简单的很啊
1/2-1/(n+1)=1/(2*3)+1/(3*4)+....1/(n*(n+1)) 每一项 1/n(n+1)<1/n^2 因此左半部分成立

(n-1)/n=1-1/n=1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n-1)n 每一项 1/n(n-1)>1/n^2 右边成立

2. 有问题

Answer 5

上式<1/(1*2）+1/(2*3)+...1/(n*(n-1)=1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.....+1/(n-1)-1/n=1-1/n=(n-1)/n

上式>1/(2*3)+1/(3*4)+..+1/(n*(n+1))=1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1）=1/2-1/(n+1) 反正就是变分母，类似的题目可用此方法

Answer 6

中间每项>1/[n*(n+1)]=[(n+1)-n]/[n*(n+1)]=1/n-1/(n+1)两两抵消得到1/2-1/(n+1)
中间每项<1/[n*(n-1)]=1/(n-1)-1/n抵消得到(n-1)/n
1/(根号n)=2/(2倍根号n)<2/[根号n+根号(n+1)]
同乘[根号(n+1)-根号n]消去分母