Question

设a,b,c∈R,且a,b.c不全相等，则不等式a^3 +b^3+c^3 ≥3abc 成立的一个充要条件 是.. 过程详细些

Answer 1

a^3 +b^3+c^3 ≥3abc 成立的一个充要条件是a+b+c≥0

a,b,c不全相等，所以[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]＞0
故a^3 +b^3+c^3 ≥3abc
等价于a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=(a+b+c)[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]/2≥0
等价于a+b+c≥0
即a^3 +b^3+c^3 ≥3abc 成立的充要条件是a+b+c≥0

Answer 2

把a^3当成x，b^3 y c^3 z
（x+y+z）/3 ≥(xyz)^(1/3)
所以a^3 +b^3+c^3 ≥3（a^3 *b^3*c^3 ）^(1/3)
即a^3 +b^3+c^3 ≥3abc