Question

如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AC⊥BD，若E,F,G,H分别是梯形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点。求证：四边形EFGH

平行四边形（2）当梯形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形

Answer 1

从结论看，题中的“AC⊥BD”是多余的。本题主要是用三角形中位线庆坦咐定理和平行四边形的判定、菱形的判定。
（1）因为E,F,G,H分别是梯形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点，
所以，EF=GH=AC/2，EH=FG=BD/2，
所以，四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四誉纯边形是平行四边形）。
（2）当梯形ABCD是等腰梯形时，四边形EFGH是菱形。
因为ABCD是等腰梯形，所以，AC=BD，于是，EF=GH=EH=FG，
所以，四边形EFGH是菱形。
（如果AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形。如果等腰梯形中，AC⊥信键BD，那么四边形EFGH是正方形。）