Question

设矩阵A=(α1,α2,α3,α4),其中α1,α2线性无关,α3=3α1+α2,α4=α1-2α2,向量设矩阵A=（α1，α2，α3

设矩阵A=（α1，α2，α3，α4），其中α1，α2线性无关，α3=3α1+α2，α4=α1-2α2，向量b=α1-α2+α3-α4，求方程Ax=b的通解（求详解）

Answer 1

这个题目有意思.

解: 因为α1，α2线性无关，α3=3α1+α2，α4=α1-2α2
所以 r(A)=r(α1,α2,α3,α4)=2.
所以 AX = 0 的基础解系含 4-2=2 个向量.

由b=α1-α2+α3-α4 知 (1,-1,1,-1)'是AX=b的解.

而 α1-α2+α3-α4
= α1-α2+(3α1+α2)-α4
= 4α1-α4
所以 (4,0,0,-1)' 是AX=b的解

又 α1-α2+α3-α4
= α1-α2+α3-(α1-2α2)
= α2+α3
所以 (0,1,1,0)' 也是AX=b的解

所以 b1=(1,-1,1,-1)'-(4,0,0,-1)'=(-3,-1,1,0)'
b2=(1,-1,1,-1)'-(0,1,1,0)' =(1,-2,0,-1)'
是 AX=b 的基础解系.

所以方程组的通解为:
(1,-1,1,-1)'+c1(-3,-1,1,0)'+c2(1,-2,0,-1)', c1,c2为任意常数.

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Answer 2

A=(α1,α2,3α1+α2,α1-2α2)=(α1,α2)A'，b=α1-α2+α3-α4=α1-α2+(3α1+α2)-(α1-2α2)=3α1+2α2=(α1,α2)b'
其中A'为2*4阶矩阵，其第一行为1 0 3 1，第二行为0 1 1 -2
b'为2阶列向量[3,2]
由于α1，α2线性无关，即矩阵(α1,α2)可逆，从而方程Ax=b的解即为A'x=b'的解。
注意到A'的秩为2，所以解空间是2维的，需要求1特解，及A'x=0的两个线性无关的解。
1特解很容易猜出为[3,2,0,0]，A'x=0的两个线性无关的解为[7,0,-2,-1]和[0,7,-1,3]，所以方程的通解为[7a+3,7b+2,-2a-b,-a+3b]，a,b为任意实数。