Question

质量为m的小球由长为l的轻绳固定在O点，今将小球水平拉至A点静止释放 ，在O点正下方何处钉一铁钉O′方能使

质量为m的小球由长为l的轻绳固定在O点，今将小球水平拉至A点静止释放 ，在O点正下方何处钉一铁钉O′方能使小球绕O′点在竖直平面内做圆周运动?

Answer 1

离O点2/3处
设OA长r ，O′A长x。
达到O'最高点的时候，为了维持转动，则
mg=F(向心力)=mv^2/x 得 v‘=√gx
W=mv'^2/2=mgh=mg(r-x) v’=√2g(r-x)
∴√gx=√2g(r-x)
x=2(r-x)
x=2/3r

∴是2/3r到r之间

Answer 2

以小球在最低点时的重力势能为0，则小球水平拉至A点时重力势能为mgl，动能为0。
假设小球恰好做圆周运动时的运动半径为r，则在圆周运动的最高点处球的重力势能为2mgr，动能为0.5mv^2。此时，绳子对小球拉力为0，有mg=mv^2/r，所以小球的动能为0.5mgr，由机械能守恒有mgl=2mgr+0.5mgr，所以r=0.4l。所以铁钉到O点距离在0.6l到l之间。