Question

急急急急，a＞0，b＞0，且a+b=1，求证： √（a+1/2） + √（b+1/2） ≤2

Answer 1

ab=a(1-a)=-a^2+a=-(a-1/2)^2+1/4
所以ab ≤1/4
(a+1/2)(b+1/2)=ab+1/2(a+b)+1/4=ab+3/4≤1
√(a+1/2)(b+1/2)≤1
[√(a+1/2)+√(b+1/2)]^2=a+1/2+b+1/2+2√(a+1/2)(b+1/2)=2+2√(a+1/2)(b+1/2)≤4
所以√(a+1/2)+√(b+1/2)≤2

Answer 2

由柯西不等式
4=(a+1/2+b+1/2)(1+1)≥[ √（a+1/2） + √（b+1/2）]^2
所以√（a+1/2） + √（b+1/2） ≤2

追问

什么叫 柯西不等式啊。

追答

柯西不等式：对任意正实数x1,x2,...xn,y1,y2...yn
(x1^2+x2^2+...+xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)≥（x1y1+x2y2+...+xnyn)^2成立

给你一个简单做法
[ √（a+1/2） + √（b+1/2）]^2=a+1/2+b+1/2+2*√（a+1/2） *√（b+1/2） ≤a+1/2+b+1/2+(a+1/2+b+1/2)=4
所以√（a+1/2） + √（b+1/2） ≤2

Answer 3

（a+1/2） + （b+1/2） =a+b+1
又因为a+b=1
所以（a+1/2） + （b+1/2） ≤2

追问

你都没带根号啊

Answer 4

a≤0.5 b≤0.5