Question

有关函数集合的问题

已知函数f（x）=x^2-4x+3.集合M={(x,y)|f(x)+f(y)<=0},集合N=｛（x，y）|f（x）-f（y）>=0,x>=y｝,试画图说明M交N表示的平面区域.

Answer 1

解：M：（x-2）²-(y-2)²<=2
N：x>=y或x+y<=0
第一个是以（2,2）为中心，根号2为半径的圆
第二个图像应该很好画，相交就是你所求的

追问

想知道怎么求的M和N

追答

f(x)=x²-4x+3=(x-2)²-1
f(y)=(y-2)²-1
M:f(x)+f(y)=(x-2)²+(y-2)²-2=0
因为x>=y
所以 x+y-4>=0 x+y>=4
即 N：x>=y 或x+y>=4
（上面的解答中的N写错了，抱歉）

Answer 2

解：∵f(x)=x²－4x＋3∴f(x)＋f(y)≤0即：x²－4x＋3＋y²－4y＋3≤0∴（x—2）²＋（y－2）²≤2 （你自己画下图）此时，集合M表示的区域是：以圆心（2，2），半径√2的圆所围成的圆（包括圆周）。。。。。。∴f(x)－f(y)≤0即：x²－4x＋3＋y²－4y＋3≥0 ∴（x—2）²－（y—2）²≥0∴ x－2 ≥ y－2 此时，集合N表示的区域是：直线x—y=0与直线x＋y—4=0相交所夹的左右那部分区域。。。。。。。如图，这时M∩N所表示的区域是：直线x—y=0与直线x＋y—4=0相交所夹的左右那部分扇形区域。又易知两直线垂直，即：两个扇形的那段弧所对的圆周角相等。∴两个扇形的面积相等，整个圆被分成全等的四块，且两个扇形面积之和为圆面积的一半。即：集合M∩N的面积是S=（1／2）·π ·（√2）² = π