Question

一道高数定积分题目：f(x)在[a,b]上有定义，若|f(x)|在[a,b]的定积分存在，f(x)在[a,b]上的定积分是否存在

答案是不一定，能举个|f(x)|的定积分存在，而f(x)的定积分不存在的反例吗？

Answer 1

你怎么知道答案不一样？我认为答案是一样的，因为根据定积分的意义，就是求面积，面积没有负的。因此，最后的结果应该是一样的。

追问

是同济六版的第五章的总习题的第一题的第（4）小题，我翻阅了五六本习题解答辅导书，其中包括同济六版课本自己的课后习题解答，答案全部是不一定

追答

?定积分一定是正值啊。所以就算是负值，也会分段，加上绝对值的。你看一下定积分的几何意义，就是这样说的。

追问

不是的，定积分是函数与x轴围城的面积，在x轴上为正，在x轴下则为负，可以是负的

追答

那要这样说，f(x)在[a,b]上有定义，若|f(x)|在[a,b]的定积分存在，f(x)在[a,b]上的定积分一定存在，是一定存在

Answer 2

可以，请看反例
http://hi.baidu.com/fjzntlb/album/item/e259cbec9a3ff71179f05539.html#

Answer 3

很高深的可积性理论，不过数学分析中有一个专门介绍了
f(x)可积则|f(x)|必可积
但是反之不对
例子，又是一个很恶心的例子，和处处连续处处不可微一样用级数构造一个函数，简单点就是
g(x)=1 当x是有理数
g(x)=-1 当x是无理数
这个g(x)不可积