Question

数列高考题

Answer 1

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Answer 2

1．(必修5 P68复习参考题B组T1改编)在公比大于1的等比数列{an}中，a3a7＝72，a2＋a8＝27，则a12＝(　　)
A．96　　　　　　　　 B．64
C．72 D．48
A　[解析] 由题意及等比数列的性质知a3a7＝a2a8＝72，又a2＋a8＝27，
所以a2，a8是方程x2－27x＋72＝0的两个根，
所以a8＝3，(a2＝24，)或a8＝24，(a2＝3，)又公比大于1，
所以a8＝24，(a2＝3，)所以q6＝8，即q2＝2，
所以a12＝a2q10＝3×25＝96.
2．(必修5 P58练习T2改编)等比数列{an}的前n项之和为Sn，S5＝10，S10＝50，则S15的值为(　　)
A．60 B．110
C．160 D．210
D　[解析] 由等比数列前n项和性质知，S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，即(S10－S5)2＝S5(S15－S10)，
所以S15＝S5(（S10－S5）2)＋S10
＝10(（50－10）2)＋50＝210.故选D.
3．(必修5 P39练习T5改编)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有Tn(Sn)＝4n－3(2n－3)，则b5＋b7(a9)＋b8＋b4(a3)的值为________．
[解析] 因为{an}，{bn}为等差数列，所以b5＋b7(a9)＋b8＋b4(a3)＝2b6(a9)＋2b6(a3)＝2b6(a9＋a3)＝b6(a6).
因为T11(S11)＝b1＋b11(a1＋a11)＝2b6(2a6)＝4×11－3(2×11－3)＝41(19)，
所以b5＋b7(a9)＋b8＋b4(a3)＝41(19).
[答案] 41(19)
4．(必修5 P45练习T3，P47习题2.3B组T4联合改编)集合M＝{m|m＝2n，n∈N*}共有n个元素，其和为Sn，则(100)Si(1)＝________．
[解析] 由m＝2n(n∈N*)知集合M中的元素从小到大构成首项a1＝2，公差d＝2的等差数列．
所以Sn＝n×2＋2(n（n－1）)×2＝n2＋n＝n(n＋1)．
所以(100)Si(1)＝1×2(1)＋2×3(1)＋…＋100×101(1)
＝1－2(1)＋2(1)－3(1)＋…＋100(1)－101(1)＝1－101(1)＝101(100).
[答案] 101(100)
5．(必修5 P44例2改编)等差数列{an}的前n项之和为Sn，且a5＝28，S10＝310.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记函数f(n)＝Sn，(n∈N*)，A(n，f(n))，B(n＋1，f(n＋1))，C(n＋2，f(n＋2))是函数f(n)上的三点，求证△ABC的面积为定值，并求出其定值．
[解] (1)因为a5＝28，S10＝310.
所以d＝310，(10×9)
解得a1＝4，d＝6.
所以an＝4＋(n－1)×6＝6n－2.
(2)由(1)知Sn＝4n＋2(n（n－1）)×6＝3n2＋n.
所以A，B，C的坐标分别为(n，3n2＋n)，(n＋1，3(n＋1)2＋(n＋1))，(n＋2，3(n＋2)2＋n＋2)．
所以△ABC的面积S＝2(1)[(3n2＋n)＋3(n＋2)2＋(n＋2)]×2－2(1)[(3n2＋n)＋3(n＋1)2＋(n＋1)]×1－12[3(n＋1)2＋(n＋1)＋3(n＋2)2＋(n＋2)]×1
＝(6n2＋14n＋14)－(3n2＋4n＋2)－(3n2＋10n＋9)
＝3.
即△ABC的面积为定值3.

Answer 3

①
nS(n+1)-(n+1)Sn=n(n+c)
两边同除n(n+1)
S(n+1)/(n+1)-Sn/n=(n+c)/(n+1)
S1/1,S2/2,S3/3是等差数列
S(n+1)/(n+1)-Sn/n=常数
c=1

②
S(n+1)/(n+1)-Sn/n=1
S1/1=A1=1
是以1为首项，1为公差的等差数列
Sn/n=n
Sn=n^2
n>=2时，
An=Sn-S(n-1)=n^2-(n-1)^2=2n-1
n=1时，A1=1也满足上式。
所以 An=2n-1

Answer 4

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