1+1,2+3,3+5,4+7,1+9,2+11,3+13,4+15,1+17········第几个的得数是1992?
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解:由题意设第m个得数为1992,且记数列1+1,2+3,3+5,4+7,1+9,2+11,3+13,4+15,1+17········为{Cn},记数列1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,........为{An},
记数列1,3,5,7,9,.......为数列{Bn},则可得:
Cn=An+Bn,且Bn=2n-1,n∈N+
因为数列{Cn}中的奇数项为奇数与奇数相加,其和为偶数,而偶数项则为奇数与偶数相加,其和为奇数,所以由所得数为1992可知,所求的m为奇数。
由于{An}是循环数列,
则当m=4k+1,k∈N时,A(4k+1)=1,B(4k+1)=2(4k+1)-1=8k+1,C(4k+1)=A(4k+1)+B(4k+1)=1992
所以有:1+8k+1=1992,即8k=1990,得k=995/4,它不是整数,故舍去。
又当m=4k+3,k∈N时,A(4k+3)=3,B(4k+3)=2(4k+3)-1=8k+5,C(4k+3)=A(4k+3)+B(4k+3)=1992
所以有:3+8k+5=1992,即8k=1984,得k=248,m=4*248+3=995
这就是说第995个的得数是1992.
记数列1,3,5,7,9,.......为数列{Bn},则可得:
Cn=An+Bn,且Bn=2n-1,n∈N+
因为数列{Cn}中的奇数项为奇数与奇数相加,其和为偶数,而偶数项则为奇数与偶数相加,其和为奇数,所以由所得数为1992可知,所求的m为奇数。
由于{An}是循环数列,
则当m=4k+1,k∈N时,A(4k+1)=1,B(4k+1)=2(4k+1)-1=8k+1,C(4k+1)=A(4k+1)+B(4k+1)=1992
所以有:1+8k+1=1992,即8k=1990,得k=995/4,它不是整数,故舍去。
又当m=4k+3,k∈N时,A(4k+3)=3,B(4k+3)=2(4k+3)-1=8k+5,C(4k+3)=A(4k+3)+B(4k+3)=1992
所以有:3+8k+5=1992,即8k=1984,得k=248,m=4*248+3=995
这就是说第995个的得数是1992.
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