Question

初三数学

在矩形ABCD中，点E在边AD，连接BE，∠ABE=30º。BE=DE，连接BD，点M为线段DE上的任意一点，过点M作MN//，与BE相交于点N。
（1） 如果AB=2√3，求边AD的长
（2） 在（1）的条件下，如果点M为线段DE的中点，连接CN，过M做MF⊥CN，垂足为点F，求线段MF的长
（3） 试判断BE，MN，MD这三条线段的长度之间有怎样的数量关系？请证明你的结论

Answer 1

分析：
（1）根据矩形的四个内角都是直角、对边相等的性质求得AB=CD，∠A=∠ADC=90°．然后在Rt△ABE中利用特殊角的三角函数值求得AB、AE、BE及DE的值；所以由AD=AE+DE求得AD的值即可；
（2）连接CM．在Rt△ABD中，利用勾股定理求得BD=4√3，然后利用直角三角形的边角关系求得∠ADB=30°，由平行线MN∥BD的内错角相等知，∠AMN=∠ADB=30°；再由平行线MN∥BD分线段成比例求得MN的长度；最后在Rt△CDM中利用边角关系、勾股定理求解；
（3）过点E作EF⊥BD，垂足为点F．由已知条件BE=DE，EF⊥BD，求得BD=2DF；然后在Rt△DEF中，利用边角关系求得BD与BE的数量关系；再有平行线MN∥BD分线段成比例解得EN与MN的关系．
解答：解：（1）由矩形ABCD，得AB=CD，∠A=∠ADC=90°．
在Rt△ABE中，∵∠ABE=30°， AB=2√3，
∴ AE=AB•tan∠ABE=2√3×√3/3=2，BE=2AE=4．
又∵BE=DE，∴DE=4．
于是，由AD=AE+DE，得AD=6．

（2）连接CM．
在Rt△ABD中， BD=√(AB2+AD2)=√(12+36)=4√3．
∴BD=2AB，即得∠ADB=30°．
∵MN∥BD，∴∠AMN=∠ADB=30°．
又∵MN∥BD，点M为线段DE的中点，
∴DM=EM=2， MN/BD=EM/ED=1/2．
∴ MN=1/2BD=2√3．
在Rt△CDM中， tan∠CMD=CD/MD=2√3/2=√3．
∴∠CMD=60°，即得CM=4，∠CMN=90°．
由勾股定理，得 CN=√(MN2+CM2)=√(12+16)=2√7．
于是，由MF⊥CN，∠CMN=90°，
得 MF=MN•CM/CN=(2√3×4)/(2√7)=4√21/7．

（3） BE=DM+√3/3MN．
证明如下：过点E作EF⊥BD，垂足为点F．
∵BE=DE，EF⊥BD，∴BD=2DF．
在Rt△DEF中，由∠EDB=30°，
得 DF=DE•cos∠EDB=√3/2DE，即得 BD=√3BE．
∵MN∥BD，∴ MN/BD=EN/EB， DM/DE=BN/BE，即得 MN/(√3BE)=EN/BE，BN=DM．
∴ EN=√3/3MN．
于是，由BE=BN+EN，得 BE=DM+√3/3MN

Answer 2

你问题中 MN与谁平行？