Question

已知椭圆C:x^2/5+y^2/4=1,已知直线L是y=x-3且过点P（2，-1），若直线L与双曲线E相交于A,B两点，AB中点为

（4，1）且双曲线E的两个焦点为椭圆C在x轴上的两个顶点，（1）求双曲线E的标准方程
（2）在双曲上是否存在一点Q，使Q到其两条渐线的距离之积等于椭圆C的短轴长，若存在请求它的坐标
过程

Answer 1

1，设E：x^2/（m^2）-y^2/(5-m^2)=1，（0<m^2<5）
由y=x-3，x^2/（m^2）-y^2/(5-m^2)=1联立整理得
(5-2m^2)x^2+6m^2*x^2+m^4-14m^2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2=(-6m^2)/(5-2m^2)
又AB中点为（4，1）
2*4=(-6m^2)/(5-2m^2)
解得m^2=4
E:x^2/4-y^2=1
2.易知渐近线x+2y=0或x-2y=0
假设存在Q(x,y)
则|x-2y|/(根5)*|x+2y|/(根5)=|x^2-4y^2|/5
又Q在双曲线E上，故x^2-4y^2=4
即|x-2y|/(根5)*|x+2y|/(根5)=4/5不等于4
故不存在这样的Q

Answer 2

x^2/(5-根号5）-y^2/(根号5）=1