Question

是否存在常数a,b,c,d,使得等式1*n+2(n-1)+3(n-2)+...+(n-1)*2+n*1=an^3+bn^2+cn+d都成立？令n=1,2,3,4后

为什么a+b+c+d=1, 8a+4b+2c+d=4, 27a+9b+3c+d=10, 64a+16b+4c+d=20. 这个结果是通过什么算出来的，请大家帮我解答一下，谢谢大家~！

Answer 1

因为假设存在常数a,b,c,d,使得等式1*n+2(n-1)+3(n-2)+...+(n-1)*2+n*1=an^3+bn^2+cn+d都成立
这个n是任意正整数

那么我们可以令n=1
得到a+b+c+d=1
令n=2
得到8a+4b+2c+d=1*2+2*1=4
令n=3
得到27a+9b+3c+d=1*3+2*2+3*1=10
令n=4
得到64a+16b+4c+d=1*4+2*3+3*2+4*1=20

然后解这个方程组(过程不再赘述，消元法)
得a=1/6
b=1/2
c=1/3
d=0

追问

Thank you very much~! 谢谢提点~！

Answer 2

直接令n的值。然后代入。

Answer 3

将n=1代入式子
等式左边＝1，等式右边＝a+b+c+d
即 1=a+b+c+d
写成这样可以理解了吧?]
其他的一样的
计算出a,b,c,d后
用数学归纳法证明

追问

谢谢，我明白了，呵呵