Question

一道中考数学压轴题

题如下：

已知抛物线y=1/2x²-x+2,求。。

1）确定此抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
2）如右图，若直线l:y=kx(k>0)与抛物线分别交于两个不同的点A、B，与直线y=-x+4相交与点P，试求证OP/OA+OP/OB=2；
3）在第二问中是否存在K值，使A、B粮店的纵坐标之和等于4？如果存在，求出K值；如果不存在，请说明理由。

主要讲一下2、3问拉！
尽量细致一点！ 最好留个QQ哦！！

谢谢拉！

Answer 1

很简单的
解：
(1) 将抛物线方程y=1/2x^2-x 2化为顶点式，得
y = 1/2(x - 1)^2 + 3/2
所以
此抛物线的对称轴方程为 x = 1
顶点坐标为：(1,3/2)

(2)
联立方程：
y=kx
y=-x+4
解得
两直线交点坐标为P(4/(k+1), 4k/(k+1))

将直线方程代入抛物线方程，消去y得
1/2x^2 - (k 1)x + 2 = 0
由根与系数的关系韦达定理得
x1+x2 = 2(k+1)
x1*x1 = 4
(其中x1,x2为方程的两根)

分别过A、B、P点作x轴的垂线,垂足分别为A'、B'、P'。
又因三角形 △OAA', △OPP', △OBB'相似，
所以有
OP/OA = OP'/OA'
OP/OB = OP'/OB'
即
OP/OA + OP/OB
= OP'/OA' + OP'/OB'
= OP'*[(OA'+ OB')/OA'*OB']

又因
OP' = 4/(k+1)
OA'+ OB' = x1 + x2 = 2(k+1)
OA'*OB' = x1*x1 = 4
所以
OP/OA + OP/OB = 4/(k+1)*2(k+1)/4 = 2
得证。

(3) 将x=y/k 代入抛物线方程，消去x,化简后得
y^2 - (2k^2+2k)y + 4k^2 = 0
由根与系数的关系韦达定理知，A、B两点的纵坐标之和为
y1+y2 = 2k^2+2k

令2k^2+2k = 4
解得
k= 1 或 k=-2(不合题意，舍去)

而k=1时，关于y的方程为：y^2-4y+4 = 0
解得
y1=y2 =2
说明直线和抛物线交于一点，A、B点重合，不和题意。

所以，不存在K，使A、B两点的纵坐标之和为4。

注：x^2 表示x的平方。
以后要多关注一些题目中的细节，每一个条件可以得到的结论，一定要迅速反应过来

Answer 2

解：
(1) 将抛物线方程y=1/2x^2-x 2化为顶点式，得
y = 1/2(x - 1)^2 + 3/2
所以
此抛物线的对称轴方程为 x = 1
顶点坐标为：(1,3/2)

(2)
联立方程：
y=kx
y=-x+4
解得
两直线交点坐标为P(4/(k+1), 4k/(k+1))

将直线方程代入抛物线方程，消去y得
1/2x^2 - (k 1)x + 2 = 0
由根与系数的关系韦达定理得
x1+x2 = 2(k+1)
x1*x1 = 4
(其中x1,x2为方程的两根)

分别过A、B、P点作x轴的垂线,垂足分别为A'、B'、P'。
又因三角形 △OAA', △OPP', △OBB'相似，
所以有
OP/OA = OP'/OA'
OP/OB = OP'/OB'
即
OP/OA + OP/OB
= OP'/OA' + OP'/OB'
= OP'*[(OA'+ OB')/OA'*OB']

又因
OP' = 4/(k+1)
OA'+ OB' = x1 + x2 = 2(k+1)
OA'*OB' = x1*x1 = 4
所以
OP/OA + OP/OB = 4/(k+1)*2(k+1)/4 = 2
得证。

(3) 将x=y/k 代入抛物线方程，消去x,化简后得
y^2 - (2k^2+2k)y + 4k^2 = 0
由根与系数的关系韦达定理知，A、B两点的纵坐标之和为
y1+y2 = 2k^2+2k

令2k^2+2k = 4
解得
k= 1 或 k=-2(不合题意，舍去)

而k=1时，关于y的方程为：y^2-4y+4 = 0
解得
y1=y2 =2
说明直线和抛物线交于一点，A、B点重合，不和题意。

所以，不存在K，使A、B两点的纵坐标之和为4。

注：x^2 表示x的平方。

Answer 3

图在哪里？没有图那我怎么做啊
ps:我也是今年中考的`