Question

求解:一个高二数学圆锥曲线题

已知椭圆C的离心率为e,左右焦点为F1,F2,抛物线E以F1为顶点,F2为焦点,点P为两曲线的一个交点,若e|PF2|=|PF1|,则求e值

Answer 1

设长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c.L为抛物线的准线，过P做L的垂线，垂足为K.则e=c/a.
因为e|PF2|=|PF1|，而L为抛物线的准线，故|PF2|=|PK|.
所以e=|PF1|/|PK|，即K通过椭圆的左准线（椭圆第二定义），所以L也是椭圆的左准线.
另一方面，椭圆的左准线为：-a*a/c；抛物线的准线为：-3c.
故而，-a*a/c=-3c，即e*e=(c*c)/(a*a)=1/3.
所以，e=三分之根号三.

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