Question

一道不等式证明题，拜托前辈解答！

m,n属于R+,求证：(m+n)/2大于等于(m+n)次方根下的(m^n*n^m)。非常感谢！

Answer 1

[(m+n)次方根下的(m^n*n^m)]的(m+n)次方=m^n*n^m≤[（m*n+n*m）／（m+n)]的（m+n)次方
≤ [2mn／﹙m+n)]的﹙m+n）次方
≤[﹙m+n)／2]的(m+n)次方
所以得证
（以上用了均值不等式，取等条件为m=n）

追问

你好前辈，请问[（m*n+n*m）／（m+n)]的（m+n)次方
≤ [2mn／﹙m+n)]的﹙m+n）次方是怎么得来的呢？

追答

对不起，打错了
应该是[（m*n+n*m）／（m+n)]的（m+n)次方= [2mn／﹙m+n)]的﹙m+n）次方

注：m^n*n^m≤[（m*n+n*m）／（m+n)]的（m+n)次方
这一步实际上是将m^n*n^m分拆为m个n与n个m相乘，再用均值不等式