Question

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且a1=1，a(n+1)=2an

（1）求数列｛an｝的通项公式及前n项和（2）设bn=nan,求数列的前N项和Tn

Answer 1

第一问
当n=1时 有 a(1+1)=2a1 因为a1=1 所以解得a=1
由此求出 an=(n+1)/2
an是等差数列 前n项和Sn=[1+(n+1)/2]*n/2=[n(n+3)]/4
第二问
bn=n(n+1)/2=(n^2+n)/2
Tn=b1+b2+b3+......bn
=0.5*(1^2+1+2^2+2+3^2+3+......+n^2+n)
=0.5*(1^2+2^2+3^2+......+n^2+1+2+3+......+n) “前面是平方和后面是等差数列”
=0.5*[n(n+1)*(2n+1)/6+n(n+1)/2] 这里用到公式1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)*(2n+1)/6
=n(n+1)*(2n+1)/12+n(n+1)/4
公式推导请见http://zhidao.baidu.com/question/16560944.html

Answer 2

(1) 因a(n+1)=2an
则{an}是公比为2的等比数列
an=a1*2^(n-1)=2^(n-1)
Sn=a1*(2^n-1)/(2-1)=2^n-1
(2) bn=nan=n*2^n-n
Tn=∑n*2^n-∑n
设Cn==∑n*2^n Dn=∑n=n(n+1)/2
Cn=1*2+2*2^2+3*2^3+....+n*2^n
2Cn= 1*2^2+2*2^3+....+n*2^(n+1)
Cn-2Cn=2+2^2+2^3+...+2^n-n*2^(n+1)
-Cn= 2*(2^n-1)/(2-1)-n*2^(n+1)
Cn=n*2^(n+1)-2^(n+1)-2
=(n-1)*2^(n+1)-2
所以Tn=Cn-Dn
=(n-1)*2^(n+1)-n(n+1)/2-2

Answer 3

a（n+1）/a（n）=2，所以a（n）是公比为2的等差数列，所以a（n）=a1*2（n-1）=2（n-1）

前n项和为Sn=a1*（1-2（n））/（1-2），

后面的求两倍的Tn在与Tn相减，再漫漫求的Tn=（N-1）*2n （n次方）

Answer 4

（1）由a1=1，a(n+1)=2an
则｛an｝为以1为首项，2为公比的等比数列
an=2^(n-1)
Sn=(1-2^n)/(1-2)=2^n-1
（2）bn=n2^(n-1)
Tn=1+2×2+3×2²+…+n2^(n-1)
2Tn= 2+2×2²+…+(n-1)2^(n-1)+n2^n
用错位相减法得-Tn=1+2+2²+…+2^(n-1)-n2^n=2^n-1-n2^n
则Tn=(n-1)2^n+1