Question

一道数学题~~~~急~~亲们帮帮忙~~

将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）.
（1）如果正方形边长为2，M为CD边中点。求：EM的长。
（2）如果M为CD边的中点，求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5；
（3）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由.

Answer 1

（1）先求出DE= ， ， 后证之.
（2）注意到△DEM∽△CMG，求出△CMG的周长等于4a，从而它与点M在CD边上的位置无关.
设DE=x，EA=y，DM=m,CM=n,则EM=y,可得方程组：x+y=2a ① y^2-x^2=m^2 ② m+n=2a ③由 ①②可求:x=a-m^2/4a=n-n^2/4a由△DEM∽△CMG得：△DEM周长/△CMG周长=x/n又由△DEM周长=m+x+y=m+2a=4a-n(4a-n)/△CMG周长=(4a-n)/4a所以△CMG周长=4a
（3）解：设DE=y
三角形DEM相似于三角形MCG
DM=x,DE=y,且EA=EM,EM=2a-DE,还有一个勾股定理可以用，这样，就可以把y用x和a表示，就可以使得GC用a,x表示。
MG用a,x表示。

最后求出周长是2a。

在△EMD中，设DE为y，则EM=AE=2a-y，用勾股定理，y=（4a^2-x^2)/4a
△EMD∽△CGM，CG=4ax/（2a+x）MG=(4a^2+x^2)/(2a+x)
周长=2a-x+4ax/（2a+x）+(4a^2+x^2)/(2a+x）
=4a。所以与x无关

不懂百度hi我

追问

第一问能详细一点吗？

追答

勾股定理啊
DM^2+DE^2=EM^2
即1^2+（2-EM）^2=EM^2
解得EM=四分之五。即1.25