Question

高一数学 已知向量a=(sinx,cosx),向量b=(sinx,k).向量c=(-2cosx,sinx-k)

若g(x)=（向量a+向量b)·向量c，求当k为何值时，g(x)的最小值为-2/3

Answer 1

解：
【1】
由题设可得：
g(x)=[(sinx,cosx)+(sinx,k)]*(-2cosx,sinx-k)
=(2sinx,cosx+k)*(-2cosx,sinx-k)
=-4sinxcosx+sinxcosx+k(sinx-cosx)-k²
=-3sinxcosx+k(sinx-cosx)-k²
即函数g(x)=-3sinxcosx+k(sinx-cosx)-k²
【2】
换元，可设t=sinx-cosx=(√2)sin[x-(π/4)]
∴-√2≦t≦√2.
且t²=1-2sinxcosx.
∴函数g(x)可化为关于t的函数：
f(t)=(3/2)t²+kt-[k²+(3/2)] ,(-√2≦t≦√2)
【3】
易知，
f(t)=(3/2)[t+(k/3)]²-[(7k²+9)/6].
【【注：经过分段讨论，可知k不存在，可能你的最小值应该是-3/2.这样的话，k=0.】】】

Answer 2

g(x)=（向量a+向量b)·向量c
=﹙2sinx,cosx＋k﹚·(-2cosx,sinx-k﹚
=-3sinxcosx＋k﹙sinx-cosx﹚－k²
＝-9﹙sinx-cosx﹚²＋k﹙sinx-cosx﹚－k²＋9
设sinx-cosx=t ,﹙-√2≤t≤√2﹚
g(t)=-9t²＋kt－k²＋9=-9﹙t-k/18﹚²－k²＋k²/36＋9
∴－k²＋k²/36＋9=-2/3
∴k=±√348/35

Answer 3

g(x)=(2sinx,cosx+k).(2cosx,sinx-k)=4sinxcosx+sinxcosx+(sinx-cosx)k-k^2=5sinxcosx+(sinx-cosx)k-k^2=-5/2*(sinx-cosx)^2+(sinx-cosx)-k^2+5/2令sinx-cosx=t,则g(t)=-5/2*t^2+tk-k^2+5/2
由于t的范围在（-根2，根2）对称轴为k/5，然后就根据对称轴的位置进行讨论即可

Answer 4

g(x)=（向量a+向量b)·向量c
=﹙2sinx,cosx＋k﹚·(-2cosx,sinx-k﹚
=-3sinxcosx＋k﹙sinx-cosx﹚－k²
＝-9﹙sinx-cosx﹚²＋k﹙sinx-cosx﹚－k²＋9
设sinx-cosx=t ,﹙-√2≤t≤√2﹚
g(t)=-9t²＋kt－k²＋9=-9﹙t-k/18﹚²－k²＋k²/36＋9
∴－k²＋k²/36＋9=-2/3
∴k=±√348/35
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