Question

a b c 为三角形三边长，c为斜边，p(m,n)在直线ax+by+2c=0上，求m2+n2最小值

急急急急急急急~~~~~
三角形为直角三角形 刚刚打漏了...对不住大家啦 要过程啊~~~

Answer 1

三角形为直角三角形，c为斜边
则c^2=a^2+b^2 (1)
P(m,n)在直线L：ax+by+2c=0上
设原点O，则OP=√(m^2+n^2)
问题转化为求OP的最小值
由于P在直线L上运动，OP的最小值是O到直线L的垂直距离
即OP=d=Ia*0+b*0+2cI/√(a^2+b^2)=2c/c=2 [(1)代入]
所以m^2+n^2的最小值=d^2=2^2=4

Answer 2

4

Answer 3

其实转化一下就好了，m^2+n^2就是直线上一点到原点距离的平方，最小值就是原点到直线距离的平方，而且容易知道原点在直线上方（其实这一点可以说重要，因为一般而言点到直线距离公式中会出现绝对值符号，也可以说不重要，因为本题中c为正数），最小距离可求得为2，m^2+n^2最小值为4.
ps:
其实这种题已经成为套路了，往往放在选择题中考，诸如此类多总结就好了，如y/x等等之类，逐渐积累这种题就会变得很小菜，祝你学习进步，学习中多加思考。。。

追问

麻烦给我整个步骤好不好呐.....我加分~~~~

追答

这个就算了吧，我想我已经说得足够详细，我不是冲着分来的。希望你能多思考问题。

Answer 4

因为三角形为直角三角形，所以a2+b2=c2.
因为p(m,n)在直线ax+by+2c=0上，所以n=-（am+2c）/b.
所以m2+n2=m2+（am+2c）2/b2=（a2m2+b2m2+4acm+4c2）/b2=c2（m2+4am/c+4）/b2
=c2(（m+2a/c)2+4-4a2/c2）/b2
显然，当m=-2a/c时，m2+n2有最小值为：c2(4-4a2/c2）/b2=(4c2-4a2）/b2=4