Question

x^2+[x/(x+1)]^2=3

用换元法解方程

Answer 1

x²+[x/(x+1)]²=3
令t=x+1 x=t-1
t≠0
则原方程变为：
(t-1)²+[(t-1)/t)]²=3
t²-2t+1+(t²-2t+1)/t²=3
t²-2t+1+1-2/t+1/t²-3=0
t²+2+1/t²-2(t+1/t)-3=0
(t+1/t)²-2（t+1/t)-3=0
(t+1/t+1)(t+1/t-3)=0

t+1/t-3=0
t²-3t+1=0
t=(3±√5)/2
x=t-1=(3±√5)/2-1
x=(1±√5)/2

t+1/t+1=0
t²+t+1=0
t=(-1±i√3)/2
x=t-1=(-1±i√3)/2-1
x=(-3±i√3)/2
所以x的解为
x=(-3±i√3)/2 ，(1±√5)/2

Answer 2

{x -> 1/2 (-3 - I Sqrt[3])},
{x -> 1/2 (-3 + I Sqrt[3])},
{x -> 1/2 (1 - Sqrt[5])},
{x -> 1/2 (1 + Sqrt[5])}

Answer 3

利用换元法，将原方程改写成：1/（1/x）^2＋1/［1＋（1/x）］^2＝3。
令y＝1/x，得：1/y^2＋1/（1＋y）^2＝3，
去分母，得：（1＋y）^2＋y^2＝3［y（1＋y）］^2，
∴1＋2y＋y^2＋y^2＝3（y＋y^2）^2。
再令z＝y＋y^2，得：1＋2z＝3z^2，∴3z^2－2z－1＝0，∴（3z＋1）（z－1）＝0，
∴3z＋1＝0或z－1＝0。
①由3z－1＝0，得：3（y＋y^2）－1＝0，∴3y^2＋3y－1＝0，∴y＝［－3±√（9＋12）］/6，
∴1/x＝［－3±√（9＋12）］/6，
∴x＝6/［－3±√（9＋12）］＝6［－3±√（9＋12）］/（9－21）＝（3±√21）/2。
②由z－1＝0，得：y＋y^2－1＝0，∴y＝［－1±√（1＋4）］/2，
∴1/x＝2/［－1±√（1＋4）］＝2［－1±√（1＋4）］/（1－5）＝（1±√5）/2。
由①、②并经检验，原方程有4个根，分别是：
（3＋√21）/2，　（3－√21）/2，　（1＋√5）/2，　（1－√5）/2。