Question

已知a,b,c是同一平面内的三个向量

已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2)
(1)|c|=2倍根号5,且c//a,求c及a·c;
(2)|b|=2分之根号5,且a+2b与3a-b垂直，求a与b的夹角
写的详细点 急 谢了

Answer 1

已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2)
(1)|c|=2倍根号5,且c//a,求c及a•c;
(2)|b|=2分之根号5,且a+2b与3a-b垂直，求a与b的夹角
(1)解析：∵向量a=(1,2)，|向量c|=2√5,c//a
∴|向量a|=√5, 向量a=√5 (√5/5,2√5/5)
向量c=2√5(±√5/5, ±2√5/5)=( ±2, ±4)
向量a•向量C=±10

(2)解析：∵|向量b|=√5/2，向量a+2b⊥向量3a-b
向量a+2b*向量3a-b=3a^2-ab+6ab-2b^2=3a^2+5ab-2b^2=15+5ab-5/2=12.5+5ab=0
∴ab=-5/2
设a与b的夹角为θ
ab=|a||b|cosθ=-5/2==> cosθ=(-5/2)/( √5*√5/2)=-1
∴a与b的夹角为180°

Answer 2

(1) a=(1,2),1²+2²=|a|² |a| = 根号5,
c//a, |c| / |a| = 2,
c(1*2,2*2) 即 c(2,4)
a·c为（1*2，2*4） 即 (2,8)

Answer 3

(1)设向量c=（m,n)列方程组根号下m平方+n平方=2倍根号5。2m-n=0(因为c//a所以向量c垂直向量（2，-1））解得m=2,n=4或m=-2,n=-4。所以向量c=（2,4)或向量c=（-2,-4)。 所以a·c=10或-10
（2）设向量b=（p,q)列方程组根号下p平方+q平方=2分之根号5。因为a+2b=（1+2p，2+2q),3a-b=(3-p,6-q)，a+2b与3a-b垂直 所以(1+2p)x(3-p)+(2+2q)x(6-q)=0解得 b=（-0.5，-1)所以cos a与b的夹角=绝对值-0.5-2除以 （ 根号4分之1+1乘根号5）得cos a与b的夹角=1 所以a与b的夹角0 还有一种方法用向量平行直接得出夹角为0。

Answer 4

[1] 设c(x,y)
|c|=2倍根号5, x^2+y^2=(2倍根号5)^2=20 (1)
且c//a, x/1=y/2 2x=y (2)
联立(1)(2) x=2 y=4或x=-2 y=-4
即c(2,4)或（-2，4）
a*c=1*2+2*4=10或 (-2)*1+(-4)*2=-10
[2] |b|=2分之根号5 b^2=25/4
a+2b与3a-b垂直
则(a+2b)(3a-b)=0
即3a^2-2b^2+5ab=0
IaI=√(1^2+2^2)=√5
所以3*5-2*(25/4)+5ab=0
ab=-1/2
设a与b的夹角为θ
则ab=IaI*IbIcosθ
cosθ=(1/2)/[√5*(√5/2)]=1/5
θ=arccos(1/5)

Answer 5

设向量c的坐标为x,y，列方程组，一个是x方加y方等于20；一个是y-2x=0;从而求出x=2，y=4或x=-2,y=-4;则a.c=10或-10