Question

求解答数列极限定义问题

定义是：设{Xn}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε （不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|Xn-a|<ε 都成立，那么就称常数a是数列{Xn}的极限。
我不明白当中的n、N、ε 是什么关系，为什么要n>N.

Answer 1

你这么理解，极限的概念就是无限接近，因为是接近不是真正等于，那就允许存在一个差距ε，而且这个差距ε是非常非常小的（没有最小，只有更小）
而数列也是个无限长的概念，它可以有n个项（n是多少？你说多少就有多少），根据数列极限定义，n越大就越接近那个极限a，因为是接近不是真正等于，所以也会存在一个差距（|Xn-a|）。
现在我们通俗得解释课本上这一定义：数列的极限也就是数列越后面的数越接近那个极限值a。如何表示呢？理论定义就假想了一个ε，它想多小就多小，可惜它一旦被找出就是个固定的数（不能变小了）。而无论你找出了是个多么小的ε，数列中总能在队列后面找出某一项（N），从这一项开始后的每一个数列中的数，与极限a的差距都比ε更小（|Xn-a|<ε），说明什么？说明数列中数的趋势真的很接近a，要多接近就有多接近，那就是极限。理论就是通过这种绕口的方式，定义了数列极限的概念。
至于为什么要n>N，因为我们必须保证N后的每一个数都要有一个接近a的趋势（与a的差距只能越来越小，不能越来越大）。否则，就不能称为极限了（比如，虽然在第9999项的x与a的差距小于了某个ε，但从10000项开始后的数，x与a的差距竟然越来越大了，那极限当然不可能是a啦）

Answer 2

ε 是无穷小
N是数列取定的一个数值.
ε =1/N
n大于N之后就小于ε (1/n)
,|Xn-a|<ε
当Xn=1.01时,a=1,ε =0.1时
Xn-a|<ε
1.01-1<0.1的关系
明白

n和N都是有序数列的值.根据ε的值大小变化的

追问

并不是每个数列都是ε =1/N 的。

追答

根据实际需要,也可以假设ε为某值
然后看是否满足需要
(ε=1/N是教材上的)比较合理解释n、N、ε 之间的关系
ε=1/N
n>N
1/n<ε