Question

如图，三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE,垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线

如图，三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE,垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D。
①试说明AE=CD
②若AC=12cm，求BD的长。

Answer 1

（1）因为CF⊥AE，所以∠DFE=90°，且BD⊥BC，∠DBC=90°
∠D+∠BEA=180°，∠BEA+∠AEC=180°，所以∠D=∠AEC，∠DCB=∠EAC
在三角形DBC和三角形ECA中
∠DBC=∠ACE，∠DCB=∠EAC，AC=BC
所以三角形DBC全等于三角形ECA
所以AE=CD
（2）由（1）得BD=EC，又BC=AC
AE为BC边中线，E为BC中点，BC=2EC
所以BD=EC=二分之一AC，AC=12cm
所以BD=cm

Answer 2

1）因为CF⊥AE，所以∠DFE=90°，且BD⊥BC，∠DBC=90°
∠D+∠BEA=180°，∠BEA+∠AEC=180°，所以∠D=∠AEC，∠DCB=∠EAC
在三角形DBC和三角形ECA中
∠DBC=∠ACE，∠DCB=∠EAC，AC=BC
所以三角形DBC全等于三角形ECA
所以AE=CD
（2）由（1）得BD=EC，又BC=AC
AE为BC边中线，E为BC中点，BC=2EC
所以BD=EC=二分之一AC，AC=12cm
所以BD=6cm

Answer 3

（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
又∵∠DBC=∠ECA=90°，
且BC=CA，
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE=CD．

（2）解：由（1）得AE=CD，AC=BC，
∴△CDB≌△AEC（HL）
∴BD=EC=
1

2
BC=
1

2
AC，且AC=12．
∴BD=6．

Answer 4

证明：∵bc=ac
∠dbc=∠acb=90°
∠dcb=∠eac
∴Δdbc≌Δeca
∴ae=cd
2.同理，Δcfe∽Δace
∴bd=6√5÷5

Answer 5

（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
又∵∠DBC=∠ECA=90°，
且BC=CA，
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE=CD．
（2）解：由（1）得AE=CD，AC=BC，
∴Rt△CDB≌Rt△AEC（HL）
∴BD=EC=
1
2
BC=
1
2
AC，且AC=10cm．
∴BD=5cm．

Answer 6

角ACE等于角CBD 角CAE等于角BCD AC等于BC 三角形BCD和CAE全等 AE等于CD
BD为6cm 就是这样，加油！