Question

数学 奥数 高一难题

Answer 1

最大值是2，当且仅当 A=B=C=60°时。这道题不能直接放缩，不然分母上只有单变量时，当一个角接近180°时，就趋于无穷了，这就说明放过头了。先做三角恒等变换：
tanA/2+tanB/2=sin(A+B/2)/cosA/2cosB/2=cosC/2/(cosB/2cosA/2),类似有其他两个式子，两两相乘可得(1/cosC/2)^2=(tanC/2+tanB/2)(tanC/2+tanA/2) ,将原式都换成tan表示，并令 a=tanA/2,b=tanB/2,c=tanC/2 则原问题化为 求∑√(ab)(a+c)(b+c) 在 ab+bc+ca=1（三角恒等式） a,b,c>0的条件下的最大值 由柯西不等式 有 原式得平方<=3*(∑(ab)(a+c)(b+c))=3(∑ab(1+c^2)) 再令 x=ab,y=bc,z=ca 有 x+y+z=1 ,∑ab(1+c^2))=x+y+z+xy+yz+zx ,而 xy+yz+zx<=1/3(x+y+z)^2
所以原式《√(3*(1+1/3))=2 且验证当且仅当x=y=z,即A=B=C=60°时取到