Question

求函数y=(√3)cosx/(sinx+2)的值域(用三角函数)

求函数y=(√3)cosx/(sinx+2)的值域(用三角函数)

Answer 1

y=√3cosx/(sinx+2)
y'=-√3sinx/(sinx+2)-√3cosx*cosx/(sinx+2)^2=-√3[sinx(sin+2)+cos²x]/(sinx+2)^2
=-√3(sin²x+2sinx+cos²x)/(sinx+2)^2=-√3(2sinx+1)/(sinx+2)^2
令y'=0，sinx=-1/2，x1=2kπ-π/6，x2=(2k+1)+π/6，cosx=√3/2或-√3/2
y"=-√3*2cox/(sinx+2)^2+2√3(2sinx+1)cosx/(sinx+2)^3
=2√3cox(2sinx+1-sinx-2)/(sinx+2)^3
=2√3cox(sinx-1)/(sinx+2)^3
当x=2kπ-π/6时，y"=-4/3<0，y有最大值1。
当x=(2k+1)π+π/6时，y"=4/3>0，y有最小值-1。
因此，y的值域为[-1,1].

Answer 2

令tan（x/2）=t,原式y=√3（1-t^2）/2+2t+2t^2
√3（1-t^2）=2y+2yt+2yt^2
把上式看成t的二次函数，则Δ=4y^2-4(2y+√3)(2y-√3)=12-12y^2
Δ=12-12y^2>=0,解得yε ［-1,1］

Answer 3

是-1到1 都是闭区间