Question

高中数学，在线等，关于不等式恒成立的问题。

已知当x＞0时，不等式x²-ma+4＞0恒成立，则实数m的取值范围是
要过程
是x^2-mx+4>0吧

Answer 1

x^2-mx+4>0 推出 mx<x^2+4 推出 m<(x^2+4)/x 推出 m<x+4/x
第一种方法。设Y=x+4/x 如果你懂勾函数，你就会知道，函数Y在X>0时，在（0，2）单调递减，在（2，正无穷）单调递增。所以Y在x=2取最小值=4。 所以m<4
第二种方法。 如果你不懂勾函数，则用求导。 Y导=1-4/(x^2) 当x=2时 Y导等于0 取极小值，即最小值。然后同上。
第三种方法。如果求导还不会。那只能用笨办法了。 用对称轴。 因为a=1 所以函数开口向上。
1. 设对称轴x<0 则 对称轴x=m/2<0 即m<0 。则x=0时，4>0。成立。所以m<0
2. 设对称轴x=0 则 对称轴x=m=0 一样成立。所以m=0
3. 设对称轴x>0 则 对称轴x=m/2>0 △=b^2-4ac<0 得m^2-16<0 可得 0<m<4
综上，m<4

Answer 2

x^2>ma-4 恒成立 , x>0

而 x^2 > 0, x>0

故只需 ma-4<=0, 即 ma <= 4

如果 a=0, 则 m 可取任意值, 如果 a>0 , 则 m <= 4/a, 如果 a<0, 则 m >= 4/a.

追问

都没有a

追答

令 y=x-m/2, 则 x^2-mx+4=x(x-m)+4=(y+m/2)(y-m/2)+4=y^2+(4-m^2/4)

故原问题等价于 y^2+(4-m^2/4) > 0 , y > -m/2

再分 m > 0 和 m 0 时, 左边的下确界为 4-m^2/4, 但取不到, 因此 4>=m^2/4, 0<m<=4. 总之 m<=4.

Answer 3

由x^2-mx+4>0得mx<x^2+4，
因为x>0,所以m<(x^2+4)/x=x+4/x
即要让m小于x+4/x的最小值，
x+4/x≥2√x*4/x=2*2=4,
即m的取值范围是（-∞,4)
这是在考察均值不等式

Answer 4

……
f'(x)=3x^2-6ax-9a^2=3(x^2-2ax-3a^2)=3[(x-a)^2-4a^2]
所以限定端点和极点。
|f'(a)|=12a^2<=12a……a<1
|f'(4a)|=15a^2<=12a……a<4/5
|f'(1)|=|3(1-2a-3a^2|=3|3a^2+2a-1|<=12a
|3a^2+2a-1|<=4a
3a^2+2a-1<=4a——3a^2-2a-1<=0，(3a+1)(a-1)<=0……-1/3<a<1
3a^2+2a-1>=-4a——3a^2+6a-1<=0，a1、a2=1±2√3/3
所以最终范围为1/4<a<4/5

Answer 5

分离参数
mx<x^2+4因为x＞0
m<x+4/x
因为均值不等式
所以m<(x+4/x)min=4
所以解为m<4