Question

如图,在△ABC中,AD是角平分线,BE⊥AD交AD的延长线于点E,点F在AB上，BF=EF.求证：EF∥AC

Answer 1

证明：因为　BE垂直于AD于E
所以　角BAE+角ABE=90度，角BEF+角AEF=90度
　　　因为 BF=EF
所以　角ABE=角BEF
所以　角BAE=角AEF
因为　AD是角平分线
　　　所以　角BAE=角EAC
所以　角AEF=角EAC
所以　EF//AC．

追问

那这题呢？：如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点,点P在射线AD上，过P做PF⊥AE于F 。当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P、F、E为顶点的三角形也与△ABE相似？

追答

存在．当PA＝x=2时，三角形PEF与三角形ABE相似．
证明：连结EF
　　　因为　PA=2时, PA=BE, 四边形APEB是矩形
　　　所以　角EPA是直角
　　　又因为　PF垂直于AE
所以　三角形PEF相似于三角形AEP
因为 三角形AEP全等于三角形ABE
所以　三角形PEF相似于三角形ABE.