Question

证一般项级数∑sin√(n^2+1)π条件收敛。

Answer 1

∵sin√(n²+1)π
=[(-1)^n]sin[√(n²+1)π-nπ]
=[(-1)^n]sin[√(n²+1)-n]π
=[(-1)^n]sin{1/[√(n²+1)+n]}π
lim(n→∞)[sin{1/[√(n²+1)+n]}π]/(1/n)
=lim(n→∞)nπ/[√(n²+1)+n]
=π/2
∴∑sin{1/[√(n²+1)+n]}与∑1/n有相同的敛散性，即∑sin{1/[√(n²+1)+n]}π发散
lim(n→∞)sin{1/[√(n²+1)+n]}π=0，且sin{1/[√[(n+1)²+1]+(n+1)]}π≤sin{1/[√(n²+1)+n]}π
由莱布尼兹判别法知lim[(-1)^n]sin{1/[√(n²+1)+n]}π收敛
∴原级数条件收敛

Answer 2

sin√(n^2+1)π=(-1)^n sin(√(n^2+1)π+nπ)
再利用分子有理化可得：(-1)^n sin(π/[根号(n^2+1)+n])
利用 Dirichlet判别法可知级数收敛。
而它的绝对值级数可以等价为：sin(π/[根号(n^2+1)+n])~π/[根号(n^2+1)+n]~1/n即发散。