Question

设数列{an}前n项和为sn,且an+sn=1(n属于N),(1)求{an}的通项公式

(2)若数列{bn}满足b1=1,且bn+1=bn+an(n>=1),求数列{bn}的通项公式

Answer 1

设数列{an}前n项和为sn,且an+sn=1(n属于N),
(1)求{an}的通项公式
①n=1时有 a(1)+s(1)=2a(1)=1,所以a(1)=1;
② a(n)+s(n)=1
a(n-1)+s(n-1)=1
两式相减得到：a(n)-a(n-1)+a(n)=0
也就是a(n)=a(n-1)/2
所以{a(n)}为q=(1/2)的等比数列；
③因此，a(n)=(1/2)q^(n-1)=(1/2)^n

(2)若数列{bn}满足b1=1,且bn+1=bn+an(n>=1),求数列{bn}的通项公式
b(1)=1
b(2)- b(1)=(1/2)
b(3)- b(2)=(1/2)^2
b(4)- b(3)=(1/2)^3
...
b(n)- b(n-1)=(1/2)^(n-1)
相加消除各项得到：
b(n)-1
=(1/2)+(1/2)^2+(1/2)^3+...+(1/2)^(n-1)
=(1/2)[1-(1/2)^(n-1)]/[1-(1/2)]
=1-(1/2)^(n-1)
（当n=1时仍然成立）
所以
b(n)=2-(1/2)^(n-1)

Answer 2

当n=1时，a1+s1=1
s1=a1
所以a1=1/2
当n≥2时，
sn=1-an
an=sn-s（n-）=1-an-（1-a（n-1)）
2an=a（n-1）
an/a（n-1)=1/2
所以an为首项为1/2，公比为1/2的等比数列