Question

设△ABC,3sinB=sin(2A+B),∠A为锐角，1.求证tan(A+B)=2tanA;2.求tanB的最大值以及取得最大值时tanA的值。

Answer 1

1. 3sinB=sin(2A+B)
3sin[(A+B)-A]=sin[(A+B)+A]
3sin(A+B)cosA-3cos(A+B)sinA=siin(A+B)cosA+cos(A+B)sinA
2sin(A+B)cosA=4cos(A+B)sinA
tan(A+B)=2tanA

2. (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=2tanA
tanA+tanB=2tanA-2tan^2A*tanB
tanB=tanA/(1+2tan^2A)=1/(1/tanA+2tanA) 1/tanA+2tanA>=2√2
>=1/(2√2)
tanB的最大值2√2
此时tanA=√2/2

Answer 2

3sinB=sin(2A+B)
即3sin（A+B－A）=sin(A+B＋A)
即3［sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA]＝sin(A+B)cosA＋cos(A+B)sinA
即sin(A+B)cosA＝2cos(A+B)sinA
即tan(A+B)=2tanA
（2）由tan(A+B)=2tanA，得tanA+tanB/1-tanAtanB=2tanA
整理得：
tanB＝tanA/(1+2tanA^2)＝1/(1/tanA+2tanA)≤1/2√2＝√2/4
（∵在△ABC中，A为锐角，tanA>0）
当且仅当1/tanA＝2tanA即tanA＝√2/2时取等号
故tanB的最大值是√2/4，此时tanA的值为√2/2

Answer 3

1、3sin[(A+B)-A]=sin[(A+B)+A]
3(sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA)=sin(A+B)cosA+cos(A+B)sinA
展开:tan(A+B)=2tanA
2、由一得到tanB=tanA/(1+2tan^2A)
=1/(2tanA+1/tanA)<=1/(2根2)=根2/4
此时2tanA=1/tanA tanA=根2/2

Answer 4

怡哥？